Diktat Mekanika Batuan BAB II (Analisis Tegangan dan Regangan)

BAB  II

ANALISIS TEGANGAN (STRESS) DAN REGANGAN (STRAIN)

2.11. DEFINISI TEGANGAN (STRESS) DAN REGANGAN (STRAIN)

Jika sebuah batang prisma diberi tarikan dengan gaya yang terbagi rata di sepanjang ujungnya (Gambar 2.1), gaya dalam juga terbagi merata di sepanjang potongan penampang sembarang mm. Tegangan (stress) pada potongan penampang mm tersebut adalah gaya P dibagi dengan luas potongan penampang A (Gambar 2.1.b).

s = P / A

Regangan (strain) dari batang prisma tersebut adalah pertambahan panjang dari batang prisma tersebut dibagi dengan panjang mula‑mula (Gambar 1.a).

Gambar 2.1. Batang prisma mengalami tarikan

Tegangan pada potongan penampang miring dengan luas penampangA’ = A / Cos q ada 2 buah yaitu tegangan normal (normal stress)  s_n yang tegak lurus pada bidang potongan dan tegangan geser (shear stress) t_nt yang sejajar dengan bidang potongan.

s_n maksimim pada  q = 0 yang besarnya s_n = s

s_nt maksimim pada  q = 45⁰ yang besarnya s_nt = ½ s

Tegangan tergantung pada :

a. Titik dimana ia dikenakan.

b. Orientasi dari luas permukaan dimana ia dikenakan.

c. Sistem dari gaya‑gaya luar yang dikenakan pada sebuah benda.

Misalkan titik P berada ditengah‑tengah sebuah empat pesegi panjang kecil (Gambar 2.2) di mana bidang yanq berhadapan sejajar menurut koordinat kartesian x, y, z. Konvesi untuk menggambarkan tegangan normal dan tegangan geser sepertil terlihat pada Gambar 2.2.

Tegangan normal yang bekerja pada bidang normal terhadap sumbu x diberi simbol s_x.

Tegangan geser yang bekerja searah dengan sumbu y pada bidang normal terhadap sumbu x diberi simbol s_xy.

Tegangan geser yang bekerja searah dengan surnbu z pada bidang normal terhadap sumbu x disebut s_xz.

Gambar 2.2. Komponen‑kormponen tegangan di sebuah empat persegi panjang

Demikianlah definisi yang sama untuk s_y, s_z, t_yz, t_yx, t_zx dan t_zy.

Tegangan normal s_x, s_y dan s_z positif jika arahnya keluar dari permukaan, menggambarkan tegangan tarik. Tegangan normal negatif adalah tegangan tekan dimana arahnya menuju ke permukaan elemen.

Tegangan geser s_y, s_z, t_yz, t_yx, t_zx dan t_zy  adalah positif jika arahnya searah dengan arah kartesian positif. Akan diperlihatkan selanjutnya bahwa dari enam komponen kartesian dari tegangan geser hanya tiga yang bebas. Titik P terletak ditengah‑tengah empat persegi panjang. Dalam keadaan setimbang, momen gaya‑gaya ke titik P pada arah sumbu x sama dengan nol.

Persamaan yang sama diperoleh untuk EMy clan EM, dengan masing­-masing pada arah sumbu y dan z.

Setiap persamaan dibagi dengan dx dy dz, maka didapat:

t_xy = t_yx

t_yz = t_zy

t_zx = t_xz

Ini memperlihatkan bahwa sepasang tegangan geser mempunyai nilai dan tanda yang sama.

2.2. ANALISIS TEGANGAN PADA BIDANG

Gambar 2.3.A memperlihatkan diagram tegangan yang bekerja pada sebuah benda berbentuk segi empat dalam dua dimensi (bidang) dengan sumbu x dan y. Pada bidang miring di mana normalnya membuat sudut q terhadap sumbu x bekerja tegangan normal s_n dan tegangan geser s_xt yang nilainya merupakan fungsi dari s_x, s_y, dan s_xy yang bekerja pada bidang­ bidang yang tegak lurus sumbu x dan y (Gambar 2.3.b).

Gambar 2.3. Diagram tegangan pada bidang

A_x = An cos q

A_y = An sin q

dengan

A_x  = luas penampang bidang yang 1 sumbu x

A_y  = luas penampang bidang yang 1 sumbu y

A_n  = luas penampang bidang miring.

Dalam keadaan setimbang :

                                                       (1)

                                                                      (2)

Persamaan 1 dan 2 memberikan besar dan tanda dari s_n dan s_nt yang bekerja pada bidang miring yang normalnya membuat sudut q terhadap sumbu x. Perioda dari tegangan‑tegangan ini adalah π karena persamaannya merupakan fungsi dari sin 2q dan cos 2q. Sehingga, tegangan‑tegangan tersebut mempunyai nitai maksimum dan minimum atau konstan.

Turunan tegangan normal s_n terhadap q sama dengan nol memberikan :

dimana q₁ digunakan untuk menggantikan q yang menyatakan sudut spesifik. Besarnya q₁ adalah :

Dari persamaan ini didapat dua nilai yaitu q₁ dan q₁+90⁰ . Satu sudut akan memberikan arah dari tegangan normal maksimum dan sudut lainnya akan memberikan arah dari tegangan normal minimum.

Jika q₁ = 0, maka dari persamaan 1 didapat:

Arah ini disebut arah prinsipal atau utama (principal direction) dan tegangan normal yang bersangkutan adalah tegangan prinsipal (principal stress) dimana s_max disebut major principal stress dan s_min disebut minor principal stress. Bidang di mana bekerja tegangan prinsipal disebut bidang prinsipal (principal plane). Tidak ada tegangan geser yang bekerja pada bidang dimana tegangan normal maksimum atau minimum.

Apabila arah prinsipal diambil sebagai sumbu x dan y, s_xy  = 0 dan persamaan 1 dan 2 disederhanakan menjadi :

Variasi komponen tegangan s_n dan t_nt sesuai dengan variasi q.

2.3. LINGKARAN MOHR DARI TEGANGAN

Pemecahan geometri untuk tegangan‑tegangan dengan arah yang berbeda-beda didapat dengan lingkaran Mohr.

Untuk diagram tegangan seperti pada Gambar 2.3A, maka urut‑urutan untuk membuat lingkaran Mohr adalah sebagai berikut:

a.   Dibuat sumbu tegak untuk t dan sumbu horisontal untuk s. Kedua sumbu ini saling tegak lurus dan skala untuk kedua sumbu ini harus sama.

b.   Plot tegangan normal s_n dan s_x pada sumbu tegangan normal s.

c.   Plot teegangan geser t_xy yang bekerja dibagian kanan dari benda langsung di bawah atau di atas titik yang menggambarkan a,, pada sumbu tegangan normal.

Jika arah tegangan geser berlawanan dengan arah jarum jam relatif terhadap titik pusat benda, plot t_xy di bawah sumbu tegangan normal. Jika arah tegangan geser searah dengan arah jarum jam relatif terhadap titik pusat benda, plot t_xy di atas sumbu tegangan normal.

d.   Plot tegangan geser t_xy yang bekerja pada bidang yang sama dengan s_y, di atas titik yang menggambarkan s_y pada sumbu tegangan normal jika searah dengan arah jarum jam dan di bawah titik tersebut jika berlawanan dengan arah jarum jam.

e.   Hubungkan kedua titik tegangan geser dengan sebuah garis lurus. Garis ini akan memotong sumbu tegangan normal pada titik 1/2 (s_x+ s_y).

f.    Gambarkan sebuah lingkaran dengan titik pusatnya pada sumbu tegangan normal di 1/2 (s_x+ s_y) dan diameternya sama dengan panjang garis yang menghubungkan kedua titik tegangan geser.

Gambar 2.4. Lingkaran Mohr dari tegangan

Dari Gambar 2.4 terlihat bawah proyeksi dari jari‑jari lingkaran pada sumbu tegangan geser t akan memberikan tegangan geser pada sudut tertentu, dan proyeksi dari ujung‑ujung diameter lingkaran pada sumbu tegangan normal s akan memberikan tegangan‑tegangan normal pada sudut tertentu.

Jari‑jari lingkaran adalah tegangan geser maksimum dan perpotongan antara lingkaran Mohr dan sumbu tegangan normal adalah tegangan prinsipal. Sudut q₁ adalah sudut yang dibentuk antara sumbu x dengan arah dari tegangan prinsipal.

Dapat dilihat pada Gambar 2.4 bahwa tegangan geser sama dengan nol jika tegangan normal maksimum dan minimum. Demikian juga jika tegangan geser maksimum maka tegangan‑tegangan normal sama dengan setengah dari jumlah tegangan‑tegangan normal asal (original normal stresses).

Sebagai titik pusat lingkaran selalu pada titik :   

2.4. ANALISIS REGANGAN

Ada dua jenis deformasi yang dapat terjadi pada sebuah benda jika mengalami tegangan, yaitu :

a. Perubahan panjang dari sebuah garis lurus.

Perubahan panjang persatuan unit panjang mula‑mula disebut regangan longitudinal longitudinal strain) yang didefinisikan sebagai

dengan             ∂L  = perubahan panjang

                        ∆L = panjang mula‑mula

Regangan longitudinal positif jika terjadi pertambahan panjang dan negatif jika terjadi pengurangan panjang.

b. Perubahan sudut dari sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis lurus disebut regangan geser (shear strain).

Gambar 2.5 memperlihatkan satu sudut dari segi empat yang mengalarni tegangan.

A O B  = sudut sebelum mengalami tegangan.

A'O'B' = sudut sesudah mengalami tegangan.

Titik O pindah ke O’, titik A pindah ke A’ dan titik B pindah ke B’ sesudah mengalami tegangan.

Displacement dari titik dinyatakan dengan u, v dan w yang masing‑masing sejajar dengan x, y dan z, diasumsikan sebagai fungsi kontinu dari koordinat (x,y,z). Jadi jika u adalah displacement dari titik O pada arah x, displacement dari titik A yang berada di dekatnya pada arah x adalah u + ∂u . ∆x  /  ∂x

Perubahan panjang pada segmen O A :

menurut definisi regangan

Gambar 2.5. Hubungan antara regangan dan displacement

Melihat Gambar 2.5 dan mengingat bahwa sudut‑sudut ∆q₁ dan ∆q₂ adalah kecil serta tegangan juga kecil terhadap unitnya, maka dapat ditulis persamaan sebagai berikut :

Per definisi, regangan geser (shear strain) g_xy,  dalam sudut A O B adalah ∆q₁ + ∆q₂

Dengan cara yang sama untuk bidang yz dan zx, 6 komponen dari regangan dapat ditulis sebagai berikut :

regangan normal          ,           ,                  

regangan geser           ,    ,   

                          

Jika u, v dan w adalah fungsi kontinu dari koordinat ruang x, y dan z dari sebuah benda, maka keenam persamaan di atas adalah keadaan (state) dari regangan sebuah titik di dalam benda.